수학/계산법2016.01.29 04:01

<직접 곱셈법>

 

 이 곱셈법의 특징은 중간 과정 없이 바로 곱할 수 있고, 곱셈 하기 전의 원래 숫자가 1,2,3과 같은 작은 숫자일 때 가장 적절하다.

 


<두 자리 수와 두 자리 수의 곱셈>

 

 ※원래 수 앞에 두 개 붙여야 한다(가장 왼쪽에 있는 0은 마지막 결과가 10 이상일 때를 대비하여 적는 것이다.)

    답은 한 번에 숫자 하나씩, 그리고 오른쪽부터 원래 수 밑에 적는다.

   

 

 

[예제]

 

ㅁ답의 맨 오른쪽 숫자를 구하기 위해 오른쪽 숫자 끼리 곱했고, 답의 맨 왼쪽 숫자를 구하기 위해 왼쪽 숫자끼리 곱했다.

 

- 위에서의 ※를 참고하면 아래와 같다.

ㄴ마지막 숫자가 3이므로 0을 안 써도 된다.

   답의 맨 마지막 숫자를 3 아래에 쓰고, 나머지는 한 번에 숫자 하나씩 왼쪽으로 채운다.


 

 위 계산 과정을 더 쉽게 이해하기 위해서는 아래와 같은 개념이 필요하다.

[보기]

 

 

 

 ※위 보기는 원래 수의 2 밑에 쓸 답을 구하는 과정을 보여준 것이다. 

 

 [숫자 쌍-곱]

+바깥쪽 쌍:답의 다음 숫자가 들어갈 빈칸 바로 위에 있는 숫자와 곱하는 수의 오른쪽 숫자이다.

-안쪽 쌍:바깥쪽 쌍의 바로 안쪽에 있는 숫자 쌍

 

 각 쌍의 두 숫자끼리 곱하여 나온 두 수를 더하면 답의 중간에 들어갈 숫자가 된다.


 

[예제2]

 

 

-마지막 단계에 해당하는 특별한 법칙을 쓰지 않고서도 바깥쪽 쌍과 안쪽 쌍을 이용해서 답을 구할 수 있다. 이건 마지막에 설명하겠다.

 

 ㅇ바깥쪽 쌍의 또 다른 숫자는 곱하는 두 자리 수의 오른쪽 숫자이다. 두 자리 수에서 바깥쪽에 위치한 숫자이기 때문이다.

    안쪽 쌍은 지금 사용한 바깥쪽 숫자 두 개의 바로 안쪽 숫자들로 정해진다.

 

 -직접 곱셈법에서의 규칙-

1.곱하는 수의 자릿수만큼 앞에 0을 붙인다.

2.곱하는 수는 0과 곱하면 0이 되기 때문에 영향을 끼치지 않는다.

3.원래 수와 곱하는 수 뒤에 붙은 0을 모두 모아 답의 끝에 붙인다. (상식)

 


 

<임의의 자리 수와 두 자리 수의 곱셈 정리>

 

1.답의 맨 오른족 숫자는 원래 수와 곱하는 수의 맨 오른쪽 숫자끼리 곱해서 구한다.

2.중간 숫자들은 숫자 각 숫자들에서의 숫자 쌍들(바깥쪽 쌍, 안쪽 쌍)을 더하여 구한다.

3.답의 맨 왼쪽 숫자는 원래 수와 곱하는 수의 맨 왼쪽 숫자기리 곱해서 구한다.

 

이는 큰 수를 곱할 때의 과정과 거의 같다. 위 정리에서 약간만 바꿔주면 된다.

 

<큰 수를 곱할 때>

 

1.답의 맨 오른족 숫자는 원래 수와 곱하는 수의 맨 오른쪽 숫자끼리 곱해서 구한다.

2.중간 숫자들은 숫자 각 숫자들에서의 숫자 쌍들(바깥쪽 쌍, 중간 쌍, 안쪽 쌍을 포함한 모든 쌍)을 더하여 구한다.

3.3.답의 맨 왼쪽 숫자는 원래 수와 곱하는 수의 맨 왼쪽 숫자기리 곱해서 구한다.

 

사실 이것만 알면 직접 곱셈법은 끝나지만, 이렇게만 보면 잘 이해가 안 되므로 더 진행하도록 하겠다.

 


<세 자리 수를 곱할 때>

 

위 내용들과 거의 같다. 다만, 여기서는 중간 숫자들 밑에 들어갈 계산 과정에서 숫자 쌍을 세 개 이용한다.

+숫자 위에 막대기가 하나 그어진 숫자들끼리, 둘 그어진 숫자들끼리, 셋 그어진 숫자들끼리 서로 곱하여 더하면 된다. 

 

[예제3]

 

-맨 앞쪽에 있는 0은 순전히 마지막 단꼐에서 받아올림을 처리하기 위한 것이다.

-바깥쪽 쌍의 안쪽 숫자들이 중간 쌍을 이루고, 남은 숫자들이 안쪽 쌍이 된다.

 


<큰 수를 곱할 때>

 

방법은 위와 동일하다. 곱하는 수가 큰 자리 수든 작은 자리 수든 상관 없다.

 

[보기2]

 

 

 

 

 


 <검산:자릿수 합하기>

 

 -이제, 앞에서 한 계산들이 맞는 지 검산을 할 것이다.

 +소개 할 검산은 알기 쉽게 말하자면 '자릿수 합하기'이다. 이 방법은 트라첸버그 교수가 창안한 것이 아니므로 참고하길.

#숫자란 한 자릿수를 말한다.(0~9)

 

- 자릿수 합하기:수를 이루는 숫자들을 더하는 방법(곱셈을 검산하려면 자릿수 합 세 개가 필요하다. (원래 수의 자릿수 합, 곱하는 수의 자릿수 합, 답의 자릿수 합)

 

*검산 규칙:{답의 자릿수 합)={원래 수의 자릿수 합) x (곱하는 수의 자릿수 합)이어야 한다.

 

[보기3]

 

          수: 6 2 3 5                 

자릿수 합: 6+2+3+5 = 15          

15은 다시:       1+5 = 6           

 

          수: 2 0 4 x 3 1 = 6 3 2 4

자릿수 합:   6    x   4  = 24(다시 2+4) = 6

 


 

 

<자릿수 합을 구할 때 시간을 절약하는 방법>

 

(1) 왼쪽부터 더해가며 중간 과정에서 자릿수 합을 한 자릿수로 정리하면서 계산한다.

(2) 자릿수 합을 꼐산할 때 나오는 9는 무시한다. 9를 포함시켜 더해도 같은 결과가 나온다. 9,989의 자릿수 합은 8이다. 더 나아가 중간에 두 숫자를 더한 값이 9가 나온다면, 무시해도 된다.

 

 


 

 

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수학/계산법2016.01.29 03:48

 

    곱하는 수

 곱셈 규칙

 11

 이웃 숫자를 더한다.

 12

 원래 숫자를 두 배 하고 이웃 숫자를 더한다.

 6

 원래 숫자에 이웃 숫자의 '절반'을 더한다(분수가 나오면 버림). 원래 숫자가 홀수면 5를 더한다.

 7

 원래 숫자를 두 배 하고 이웃 숫자의 '절반'을 더한다. 원래 숫자가 홀수면 5를 더한다.

 5

 이웃 숫자의 절반인 수를 적는다, 원래 숫자가 홀수면 5를 더한다.

 9

 오른쪽 끝 숫자:10에서 뺀다. 
 중간 숫자들:9에서 빼고 이웃 숫자를 더한다.
 왼쪽 끝 숫자:원래 수의 가장 왼쪽 숫자에서 1을 뺀다.

 8

 오른쪽 끝 숫자:10에서 빼서 나온 숫자를 두 배 한다.
 중간 숫자들:9에서 빼고 이웃 숫자의 절반을 더한다. 원래 숫자가 홀수면 5를 더한다.
 왼쪽 끝 숫자:원래 수의 가장 왼쪽 숫자에서 2를 뺀다.

 4

 오른쪽 끝 숫자:10에서 빼고 숫자가 홀수면 5를 더한다.
 중간 숫자들:9에서 빼고 이웃 숫자의 절반을 더한다. 숫자가 홀수면 5를 더한다.
 왼족 끝 숫자:원래 수의 가장 왼쪽 숫자의 절반에서 1을 뺀다.

 3

 오른쪽 끝 숫자:10에서 뺀 값을 두 배 한다. 원래 숫자가 홀수면 5를 더한다.
 중간 숫자들:9에서 빼고 두 배 한 뒤 이웃 숫자의 절반을 더한다. 원래 숫자가 홀수면 5를 더한다.
 왼쪽 끝 숫자:원래 수의 가장 왼쪽 숫자의 절반에서 2를 뺀다.

 2

 이웃 숫자를 전혀 사용할 필요 없이 원래 수의 각 자리 숫자를 두 배 한다.

 1

 원래 수를 그대로 적는다.

 0

 어떤 수든 0을 곱하면 항상 0이다.

 

-이것으로 간단한 곱셈은 끝났다.

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수학/계산법2016.01.29 03:04

<4를 곱하는 곱셈>

 

-이 곱셈은 한 가지만 제외하고는 9를 곱할 때와 같다. 4를 곱할 때는 9를 곱할 때처럼 이웃 숫자를 더하지 않고 이웃 숫자의 절반을 더한다.

 

 규칙1: 원래 수의 맨 오른쪽 숫자를 10에서 뺀 다음 나온 수가 홀수면 5를 더한다.

 규칙2: 그 다음 숫자들을 차례대로 9에서 뺀 뒤 만약 홀수면 5를 더하고 거기에 이웃 숫자의 절반을 더한다.

 규칙3: 0 차례가 되면 이웃 숫자의 절반값에서 1을 뺀 수를 마지막으로 적는다.

 

[예제]

 

 

 

[1] 10에서 7을 빼면 3이다. 7이 홀수이므로 5를 더한다. 결과는 8이다.

[2] 9에서 2를 빼고 7의 절반을 더하면 10이다.

[3] 9에서 5를 빼면 4이다. 5가 홀수이므로 5를 더하면 9이다. 여기에 이웃 숫자인 2의 절반을 더하고 받아올림한 1을 더하면 11이다.

[4] 9에서 0을 배고 5의 절반을 더하고, 받아올림한 1을 더하면 12이다.

[5] 9에서 4를 빼고 점을 더하면 6이다.

[6] 4의 절반에서 1을 빼면 1이다.

 

 


 

<연습 문제>

 

 

답: 1. 10,752     2. 1,243,428

 


<3을 곱하는 곱셈>

 

-이 곱셈은 몇 가지를 빼고는 8을 곱할 때와 비슷하다. 8을 곱할 때 이웃 숫자를 더한 것과 달리 이웃 숫자의 절반만 더한다.

 

 규칙1(첫 번째 숫자): 10에서 밴 값을 두 배 한다. 홀수면 5를 더한다.

 규칙2(중간 숫자들): 9에서 밴 결과값을 두 배 한 다음 이웃 숫자의 절반을 더한다. 홀수면 5를 더한다.

 규칙3(맨 왼쪽 숫자): 원래 수의 가장 왼쪽 숫자를 절반으로 나누고 2를 뺀다.

 

[예제]

 

[1] 10에서 8을 빼고 두 배 하면 4가 된다. 이웃 숫자는 없으므로 신경쓰지 않는다.

[2] 9에서 9를 빼면 0이므로 2배 해도 0이다. 9가 홀수이므로 5를 더한 뒤 8의 절반을 더하면 9가 된다.

[3] 9에서 5를 빼고 두 배 한 뒤 5를 더하고 9의 절반을 더한다. 결과는 17이다.

[4][각주:1]

[5] 2의 절반에 점을 더하고 2를 빼면 0이 된다.

 


<2를 곱하는 곱셈>

 

-규칙이라 말할 것도 없다. 이웃 숫자는 사용하지 않고, 주어진 숫자 가각에 차례대로 2를 곱하면 된다.

 


<1을 곱하는 곱셈>

 

-제일 간단한 곱셈이다. 수를 그대로 옮겨 쓰면 된다. 왜냐하면 어떤 수에 1을 곱해도 원래 수는 변하지 않기 때문이다. 이 때문에 아무리 긴 수라도 1을 곱하면 자기 자신이 된다.

 


<긴 수의 곱셈>

 

 

 

 

[1] 54,821에 9를 곱하는 법칙을 사용한다

[2] 8을 곱하는 법칙을 사용한다

[3] 4를 곱하는 법칙을 사용한다

[4] 위 값들을 세로로 더하면 답을 구할 수 있다.

 

&이렇게 계산하는 것 외에도 더 손쉬운 방법인 '직접 곱셈법'이나 'UT곱셈법'이 있다. 

 


 

 

  1. 9에서 2를 빼고 두 배 한 뒤 5의 절반을 더하고 점을 더하면 17이다. [본문으로]
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수학/계산법2016.01.29 01:18

<9를 곱하는 곱셈>

 

 규칙1:원래 수의 맨 오른쪽 숫자를 10에서 뺀다. 그 값을 해답의 맨 오른쪽에 쓴다.

 규칙2:그 다음 숫자들을 마지막까지 차례대로 9에서 빼고, 이웃 숫자와 더한다.

 규칙3:마지막으로 원래 수의 맨 왼쪽 0에 도달하면 이웃 숫자에서 1을 뺀 결과를 해답의 가장 왼쪽에 적는다.

 

 [예제]

 

 

1단계:8,769의 9를 10에서 뺀 숫자, 1을 답에 적는다.

2단계:9에서 6을 뺀 뒤, 이웃 숫자 9와 더한다. 결과가 12이므로, 답에 점을 표시하고 2를 적는다.

3단계:9에서 7을 뺀 2와 이웃 숫자 을 더하면 8이 된다. 여기에 받아올림한 점까지 더하면 9가 된다.

4단계:9에서 8을 빼면 1이 나오므로 이웃 숫자와 더하면 8이 된다.

5단계:맨 왼쪽 0에 도달했으므로 마지막 단계이다. 이웃 숫자인 7에서 1을 빼서 나온 결과인 7을 답의 가장 왼쪽에 적는다(8,769의 맨 왼쪽 숫자에서 1을 빼서 나온 결과인 7을 답의 가장 왼쪽에 적는다).

 

 


 

[받아올림하는 숫자가 없는 예제]

 

 

해설:10에서 4를 빼면 6이 나오므로 답은 6으로 끝난다. 이 경우에는 점, 즉 받아올림하는 숫자가 없다. 또 원래 수의 맨 왼쪽 4에서 1을 뺀 결과 답의 맨 왼쪽 숫자는 3이다. 답은 39,996이다.

 

 


 

<연습 문제>

 

 

 

답: 1. 792      2. 769,185     3. 545,166    

     4. 2,227    5. 7,101       6. 47,889,765

 


 

<8을 곱하는 곱셈>

 

 규칙1(첫 번째 숫자): 10에서 뺀 다음 두 배 한다.

 규칙2(중간 숫자[각주:1]들): 9에서 뺀 다음 두 배 하고 이웃 숫자와 더한다.

 규칙3(맨 왼쪽 숫자): 원래 수의 가장 왼쪽 숫자에서 2를 뺀다.

 

[예제]

 

 

[1] 9를 10에서 뺀 값을 두 배 한 결과 2를 내려 적는다.

[2] 9에서 5를 빼고 그 결과를 두 배 한 뒤 이웃 숫자인 9와 더한다. 결과는 17이다.

[3] 9에서 8을 뺀 값인 1을 두 배 하면 2가 되는데 ,2를 이웃 숫자 5와 더한 뒤 받아올림한 1을 더한다.

[4] 마지막으로 원래 수 0859의 가장 왼쪽 숫자인 8에서 2를 빼면 6이 된다.

 


 

<연습 문제>

 

 

답: 1. 688          2. 384

     3. 552          4. 704

     5. 62,216      6. 28,496

     7. 20,384      8. 35,576

 

 


 

<한 자릿수 곱셈>

 

 

-한 자릿수 곱셈에서는 중간 숫자가 없기 때문에 첫 번째 단계에 다라 10에서 10에서 8(7)을 빼고(8을 곱하는 곱셈의 경우에는 이 값을 두 배 한다.), 마지막 단계에 따라 8에서 1을 뺀다(7에서 2를 뺀다.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. 맨 왼쪽의 0과 첫 번째 숫자를 제외하고는 모두 중간 숫자이다. [본문으로]
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수학/계산법2016.01.27 10:39

 

 ※들어가긴 전 알아 두어야 할 것:이전 글에서 설명한 개념, '절반' 개념

 

 이번 곱셈(5,6,7을 곱하는 곱셈)에서는 '절반'이라는 개념이 사용된다. 왜냐하면 '절반'으로 계산 방법이 사용되기 때문이다. 여기서 말하는 절반은 '숫자를 반으로 나눈 다음, 분수가 생기면 분수를 버려서 남은 값'을 말한다. 예를 들어 8을 반으로 나누면 4이지만,,7을 반으로 나누면 3½과 같이 분수꼴로 나오므로 ½을 버리고 3을 취한다. 1은 반으로 나누면 0이다.

 

 이 글에서의 전개 순서는 제목에 쓴 나열된 숫자 순서와 같다. 다시 말해서, 5를 곱하는 곱셈부터 시작해서 6을 곱하는 곱셈, 7을 곱하는 곱셈, 이런 식으로 간다.

 

 


<5를 곱하는 곱셈>

- 1,3,5,7,9와 같은 홀수는 분수를 버리는 특별한 과정을 거쳐야 한다. 이와는 반대로, 0,2,4,6,8과 같은 짝수는 평소에 하던 방법으로 답을 구한다.

 

 5의 곱셈 규칙: 이웃 숫자를 반으로 나뉴고, 원래 숫자가 홀수면 5를 더한다.

 

[예제]

 

 

[1] 8은 짝수이므로 5를 더할 필요가 없다.

[2] 4는 짝수이다. 8을 반으로 나눠 아래에 적는다.

[3] 4는 짝수이다. 6을 반으로 나눠 아래에 적는다.

[4] 0은 작수로 보고, 4를 나눠 아래에 적는다.

 

 


 

 

[예제:홀수가 있는 경우]

 

 

[1] 앞의 예제와 같다.

[2] 3은 홀수이다. 4에 5를 더한다.

[3] 4는 짝수이다. 3의 절반을 아래에 적는다.

[4] 0은 짝수로 보고, 4를 반으로 나눠 아래에 적는다.

 

 


 

<연습 문제>

 

 (1)0 5 8 4 1 3

 (2)0 1 4 2 8 5 7

 

답:(1) 292,065 (2) 714,285

 


<6을 곱하는 곱셈>

 

 6의 곱셈 규칙:(1) 각각의 숫자에 이웃 숫자의 절반을 더한다.

             규칙:(2) 숫자가 홀수일 때는 5를 더한다.

※원래 수가 홀수면 5를 더한 다음에 이웃 숫자의 절반을 더한다.

 

[예제]

 

 

[1] 4는 짝수이고 이웃이 없으므로 그대로 내려 적는다.

[2] 5는 홀수이다. 따라서 5에 5를 더하고, 4의 절반을 더한면 12가 된다.

[3] 5의 절반은 2이다. 여기에 앞에서 받아올림한 수를 더한다.

[4] 2는 짝수이고, 0의 절반은 0이므로 그대로 2를 내려 적는다.

[5] 0에 2의 절반을 더한다.

 

 


 

+ 이 방법(규칙)은 한 자리 수에도 적용된다.

 

[예제]

 

 

[1] 이웃 숫자가 없으므로 그대로 내려 적는다. (1) 7에 5를 더한다. 이웃 숫자가 없으므로 그대로 12이다.

[2] 0에 8의 절반을 더한다.                           (2) 0에 7의 절반을 더하고, 받아올림한 1을 더한다.

 


<7을 곱하는 곱셈>

 

 규칙1: 숫자를 두 배 하고 이웃 숫자의 절반을 더한다.

 규칙2: 만약 숫자가 홀수라면 5를 더한다.

 

[예제]

 

 

[1] 원래 숫자 4를 두 배 한다.

[2] 2를 두 배 하고 이웃 숫자의 절반을 더한다.

[3] 4를 두 배 하고 이웃 숫자 2의 절반을 더한다.

[4] 2를 두 배 하고 이웃 숫자 4의 절반을 더한다.

[5] 0을 두 배 해도 0이다. 여기에 이웃 숫자의 절반을 더한다.

 

 


 

[홀수가 들어간 예제]

 

 

[1]2를 두 배 한다. 이웃 숫자가 없으므로 그대로 내려 적는다.

[2] 1은 홀수이다. 1을 두 배 하고 5를 더하면 7이 되고, 여기에 2의 절반을 더한다.

[3] 4는 짝수이다. 4를 두 배 하고 1의 절반을 더한다.

[4] [각주:1]

[5] 0의 두 배는 0이다. 여기에 3의 절반을 더하고, 점을 계산한다.

 

 


 

-머릿속에 펼쳐져야 할 올바른 단계-

 

 +숫자가 홀수일 경우:숫자를 보고 바로 머릿속으로 두 배 한 후, 그 수에 5를 더한다. 이를테면 두 배 할 숫자가 7이라면 5를 떠올리고 나서 119를 바로 말해야 한다.

 

 


 

 

[곱셈을 빠르게 하기 위한 단계별 훈련]

 

1단계: 아래에 나열된 숫자를 각각 본 후 바로 두 배인 수를 외친다.(4를 보고 '8'이라 말하지 말고 '8'이라 말한다).

 

 

2단계(이 단계를 연습하면12를 곱하는 곱셈을 빨리 할 수 있다):아래에서 각각 왼편의숫자를 보고 두 배인 수를 크게 말한 뒤(3을 보고 '6'이라 말하라), 이웃 숫자와 더한다(4 5는 '8'과 '13'을 외친다).

 

 

 

3단계(이 단계를 연습하면 숫자가 짝수일 때 7을 곱하는 곱셈을 빨리 할 수 있다): 아래에 두 개씩 짝지어진 숫자 쌍이 열거되어 있다. 왼편의 숫자를 보고 그 숫자의 두 배인 수를 크게 말한 뒤, 이웃 숫자의 절반을 더한다(2 4를 보고 '4'와 '6'을 외친다).

 

 

 

4단계:아래에 열거된 숫자를 보고 '라'라고 말한 뒤, 5와 각각 숫자의 두 배인 수의 합을 말한다(3을 보고, '5', '11'이라고 말한다).

 

 

5단계(이 단계는 숫자가 홀수일 때 7을 곱하는 곱셈을 하기 위한 것이다):아래에는 두 개씩 짝지어진 숫자 쌍이 열거되어 있다. 왼쪽의 숫자를 보고 5라고 말한다.. 5와 각 숫자의 두 배인 수를 더한 값을 구한 다음 즉시 이웃 숫자의 절반을 더하고 그 결과를 말한다(2 3 숫자 쌍을 보고 '5', '9', '10'을 외친다.

 

 

 

 

 


 

<연습 문제>

 -7을 곱하는 곱셈-

[모든 숫자가 짝수인 경우]

 

 

 

답:1,694     3,108     6,034

     1,554     4,494     3,402 

 

[홀수가 포함된 경우]

 

 

 

답:2,247     1,589     2,240

    4,466     938       2,009

 


 

 

 

 

 

  1. 3은 홀수이므로, 3을 두 배 하고 5를 더하면 11이 되고, 여기에 4의 절반을 더하면 12가 된다. [본문으로]
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수학/계산법2016.01.26 04:26

 이제 본격적인 트라첸버그 계산법을시작한다.

 

 이 글에서는 이전 글의 마지막 부분에서 말했던 것처럼 간단한 곱셈에 대해서 다룬다.

간단한 곱셈에서는 1부터 12까지를 곱하는 곱셈을 다루며, 편의를 위해 다음과 같이 분할하여 기술한다.

여기서는 Ⅰ,Ⅱ단계만 다루고 그 다음 단계는 다음 글에서 다루겠다.

 

 

  1. 들어 가기 전 기본 개념
  2. 11과 12을 곱하는 곱셈
  3. 5,6,7을 곱하는 곱셈
  4. 4,3,2,1을 곱하는 곱셈

 

 

 


 

<들어가기 전 기본 개념>       

                                                                                  [보기]              

                                       

 

 

 

 

 

  • 각 곱하는 수의 계산마다 규칙이 다르므로 각 숫자(곱하는 수)에 맞는 규칙을 사용한다.

 

  • 보통, 숫자의 배치는 위와 같이 한다. 피승수(곱해지는 수)는 왼쪽에, 곱하는 수는 오른쪽에 배치하는 것이 다음에 나올 UT계산법 등에서도 여러모로 편하다. 물론, 이렇게 하지 않아도 된다.

 

  • 앞으로 곱해지는 수(피승수)를 '원래 수'라고 부른다.

 

  • 원래 수의 맨 왼쪽에 0을 붙인다.

 

  • 이웃 숫자의 개념에 대해 알아둔다. 이웃 숫자:계산하고 있는 숫자의 바로 오른쪽에 있는 숫자

 

  • 답은 밑줄 쳐 진 원래 수의 밑에 쓴다.

 

  • 답은 규칙을 적용하면서 오른쪽에서 왼쪽으로 답을 한 자씩 적어 간다.

 

  • 위 보기의 위에서 셋째, 넷째 수식에 있는 *(별표)는 계산에 사용되고 있는 숫자를 편하게 알아보기 위한 표시다.

 

  • 마지막 보기에 있는, 원래 수의 밑줄 밑에 있는 '표시는 받아올림[각주:1]을 한다는 뜻이다. '의 개수와 받아올림 수가 같다.이를테면 ''이면 받아올림은 2이다.

 


 

 

 

                                     - 추가로 알아 둘 것-

 

  1. 원래 숫자는 답의 다음번 숫자가 적히는 답의 윗부분에 위치한다.
  2. 이웃 숫자는 바로 오른쪽에 있는 숫자를 가리킨다.(강조)
  3. 이웃 숫자가 없으면 이웃 숫자는 0으로 생각하고 무시한다.
  4. 원래 수의 맨 왼쪽에 있는 0은 답이 원래 문제의 자릿수보다 한 자리 더 있음을 알려준다. ※다만 예외인 것도 있다.

 

 

※자세한 설명은 바로 밑에 나올 11,12를 곱하는 곱셈에서 설명하겠다.

 

 

 

 


 

 

 <11을 곱하는 곱셈>

 

 

 

-11의 곱셈 규칙: (1)원래 수의 마지막 숫자를 답의 맨 오른쪽에 적는다.

                       (2)이어지는 숫자를 각각의 오른쪽 숫자와 더하여 답에 적는다.

                       (3)원래 수의 첫 번째 숫자를 답의 맨 왼쪽에 적는다.

 

 

[예시]

 

 

 

 [1] 534의 마지막 숫자(위에 별표 있는 숫자)를 답의 맨 오른쪽에 적는다.

 

 [2] 534에서 다음으로 오는 숫자를 오른쪽 숫자와 더한다.

 

 [3] 위 규칙을 다시 적용하면. 5 더하기 3이므로 8이 된다.

 

 [4] 534의 첫 번째 숫지인 5를 답의 맨 왼쪽에 적는다.

 

+이것보다 더 긴 수도 가능하며 곱하는 수가 11인 이상 얼마나 길든 상관없다.

 

 


  

 

 위 예시에서 보았듯이 각 숫자는 한 번은 '숫자'로, 그 다음 단계에서는 더하기 위한 '이웃'으로 쓰인다.

 

 

 

 이를테면 [예시]에서 3은 아래 답에 7을 쓸 때는 '숫자'로 쓰이지만, 다음 단계에서 아래 답에 8를 쓸 때는 '이웃'이 된다.

 

#다시 한번 강조하겠지만, 여기서 '이웃'이란 계산하고 있는 숫자의 바로 오른쪽에 있는 숫자를 말한다. 앞으로도 간단한 곱셈에서 자주 나오는 개념이니 잘 숙지해둔다.  

 

 그리고 위의 '11을 곱하는 곱셈'에서의 세 가지 규칙을 줄여서 '이웃과 더한다.'라는 규칙으로 간편하게 쓸 수 있다. 이 때문에 원래 수 앞에 0을 적어야 할 필요가 있는 것이다. 다음 예시를 보면 그 필요성을 알 수 잇다.

 

[예시2]

 

 

 [1] 이웃 숫자가 없어서 더할 숫자가 없으므로 아래의 답에 5가 그대로 내려온다.

 

 [2] 아까와 같이 계산을 진행한다.

 

 [3] 0 더하기 4는 4이다.

 

-여기서 원래 수의 맨 앞에 0을 쓰지 않으면 마지막에 4를 쓰는 것을 잊기 쉬워, 그러면 4493이 되어 버린다. 게다가 답은 원래 수보다 한 자리 커야 하므로 0을 써 주면 이 점을 상기할 수 있다.

 

+또한 [3]에서 '3 이 있는 걸 알 수 있는데, 이것은 문제를 풀다 나온 값이 10을 넘어가는 경우가 있을 때 쓰는 표시다. '3은 13이라는 뜻으로 1을 받아올림한 것이다. 간단한 곱셈에서는 받아올림을 하는 경우에도 보통 기껏해야 1이나 2 정도가 나온다. 받아올림한 숫자가 2일 때는 점 2개를 찍는다. 그 이상이면 그 숫자에 해당하는 만큼의 수의 점을 찍는다.

 

[예시]

 

 

 

 이와 같이, 어떤 긴 수가 9로 시작하고 그 다음 숫자로 8처럼 긴 숫자일 때 마지막에 10을 적어야 할 때도 있다.

 

 

 


 

 

<12를 곱하는 곱셈>

 

 

-12의 곱셈 규칙: 원래 수의 숫자를 두 배하여 이웃 숫자와 더한다.

 

이외에는 11을 곱하는 계산법과 같다.

 

[예시3]

 

 

 [1] 첫 번째 숫자에는 이웃 숫자가 없으므로 2를 두 배 해서 4를 아래에 적는다.

 [2] 1을 두 배해서 2와 더한다.

 [3] 4를 두 배 해서 1과 더한다.

 [4] 0을 두 배 하면 0이므로 4와 더해서 4가 나온다. 

 

 

 


 

 

 이리하여 간단한 곱셈의 첫 시작인 '11과 12를 곱하는 곱셈'이 끝났다.

 

※주의할 점

 

  1. 답은 원래 숫자[각주:2] 바로 아래에 적는다.

  2. 원래 숫자의 오른쪽에 있는 숫자가 이웃 숫자이다

 

 

 

 


 

 

 ㅁ이로써 간단한 곱셈(1)을 끝낸다. 다음 글은 5와 6과 7을 곱하는 곱셈이다.

 

 

 

 

 

  1. 받아올림:덧셈에서 같은 자리의 수끼리의 합이 10이거나 10보다 크면 바로 윗자리로 10을 올려서 계산하는 방법. [본문으로]
  2. 예컨대 12를 곱하는 계산에서, 두 배 해야 하는 숫자 [본문으로]
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Posted by 블랜드
수학/계산법2016.01.23 05:17

 이번에 처음으로 소개하게 되는 계산법은 '트라첸버그 계산법'이다.

 

 먼저 본격적인 계산법에 들어가기에 앞서 이 다음 글에서부터 다루게 될 '트라첸버그 계산법'에 대해 간략한 소개 및 설명을 할려고 한다. 트라첸버그 계산법은 '트라첸버그'란 이름으로부터 알 수 있듯이물론 그 계산법의 이름의 유래를 모르면 알 수 없다.

, 트라첸버그라는 사람의 이름으로부터 따온 것이다. 본명은 야곱 트라첸버그다.

 

 그럼 거두절미하고 트라첸버그 계산법에 대해서 대략적인 설몀을 하기 전에 위에서 언급한 '야곱 트라첸버그'라는 인물에 대해서 우선하여 서술하고자 한다. 내용은 아래와 같다.

 


 

 야곱 트라첸버그

 

그는 우크라이나 출신의 유대인으로, 상트페테르부르크 공학 연구소를 수석으로 졸업하고 러시아의 무기 공장에서 수석 엔지니어로 일했다. 1917년에는 러시아 혁명 당시 독일로 이주했으나 제1차 세계대전 중에 나치 수용소에 수감되게 되었고, 그는 투옥 기간 동안 자신만의 암산 계산법을 연구, 개발했다. 독일의 항복으로 전쟁이 끝내자 야곱 트라첸버그는 스위스로 건너가 학생들을 대상으로 자신이 개발한 수학 게산법을 강의했다. 그의 독특한 계산법은 교육게에 큰 반향을 일으켰고 그는 수학자이자 교육가로 높은 명성을 얻었다. 그 계산법이 알다시피 트라첸버그 계산법이다.

 

 


 

 트라첸버그 계산법의 탄생 비화

 

 트라첸버그가 그 계산법을 만든 때는 히틀러의 포로 수용소에 정치범에 갇혀 있을 때였는데, 공산주의자와 파시즘에 저항한 그는 그 곳에서 참혹한 생활을 하면서 자신만의 세계, 논리와 질서의 세계 속으로 빠져 들었다고 한다. 무언가를 적을 종이나 책, 연필과 같은 필기도구조차 없는 상황에서 그는 오직 숫자의 논리를 머릿 속에 떠올리며 견뎌냈다. 아주 큰 수들의 덧셈을 떠올리고 그것들을 머릿속에서 더하고 조작하는 새로운 방법을 찾았는데, 어린 아이들도 할 수 있을 만큼 쉬운 덧셈 방법을 개발하게 되었다. 종잇조각도 쉽게 구할 수 없었던 그는 모든 작업을 머릿속에서 한 후 완성된 이론만을 기록으로 남겼다.

 

 1945년, 수용소를 탈출한 트라첸버그는 스위스의 피난민 수용소에서 자신이 만든 계산법을 완벽하게 다듬었다. 그는 사람은 누구나 풍부한 재능을 갖고 태어난다고 믿었기 때문에, 일부러 학교 수업을 잘 따라가지 못하는 어린이들을 골라 자신의 계산법을 가르쳤다. 어아둘은 제각각 성격이 달라 소극적이거나 반대로 거만하고 통제할 수 없는 성격이었지만, 새로운 계산법을 배우자 계산을 놀이처럼 즐겼으며 점차 달라지기 시작했다. 그리하여 성취감을 맛본 아이들은 더욱 노력하여 다른 과목까지 잘할 수 있게 되었다.

 

 트라첸버그는 누구나 빠르고 쉽게 계산하는 방법을 배울 수 있다는 것을 증명하기 위해 트라첸버그는 지적 장애에 가까운 열 살짜리 아이에게 계산법을 가르쳐주었는데, 결과는 성공적이었다. 아이는 계산하는 버을 배웠을 뿐 아니라 IQ 수치 역시 향상되었으며, 모든 문제를 머릿속에서 해결할 수 있게 된 덕분에 기억력이나 집중력도 나아졌다.

 

 1950년, 트라첸버그는 스위스 취리히에 수학 학교를 세우게 된다. 과거 낡은 방식의 수학 공부에 염증을 느낀 이들은 이 계산법의 단순성에 매료되기 시작했고, 새로 얻은 수학적 재주를 자랑스러워하며 뽐냈다. 트라첸버그의 수학 학교는 학생들이 끝나는 종이 울리는 순간까지도 수업 시간을 즐기는 유일한 학교가 되었다.

 

 


 

트라첸버그 계산법

 

〈특징과 장점〉

 

  1.  보통 사람들에게 익숙한 계산법과는 근본적으로 달라 구구단도 없고 나눗셈도 없다아니 사실 있다. 그것도 많이. 수슬 세는 능력이 있고 몇몇 규칙들만 배우고 나면 계산 문제를 즐겁고 쉽게 풀게 될 수 있다.
  2. 쉽고 빠르고 정확하게 계산할 수 있다. 교육학자들의 말에 따르면, 트라첸버그 계산법이 수학 계산에 걸리는 시간을 80%나 단축시킨다고 한다. 또한, 특유의 검산법을 통해 오류를 90%나 줄여준다.
  3. 수학에 흥미를 잃은 사람들에게 수학의 즐거움을 일깨워준며 학생들에게 자신감을 주고 도전정신을 자극한다.

 덧붙여서 트라첸버그 계산법에 대한 일화가 하나 있다. 트라첸버그 계산법을 배운 학생들과 컴퓨터(셈틀)의 산수 대결 실험에서 한 시간 동안 가다로운 나눗셈, 긴 덧셈, 복잡한 제곱과 제곱근 찾기, 엄청난 곱셈 문제 등이 출제되었는데, 결과적으로 학생들이 이겼다는 것이다. 물론, 당시의 컴퓨터와 현대의 컴퓨터의 성능에는 상당한 차이가 있으므로 그러한 점을 고려하지 않을 수 없지만 그래도 대단하다고 생각하게 만든다.

 

 


 

 이것으로 대충 트라첸버그 계산법에 대한 대략적인 소개를 끝낸다.

참고로 이 계산법은 간단한 곱셈, 직접 곰셈법, UT곱셈법, 덧셈 계산, 나눗셈, 제곱과 제곱근 구하기로 총 6개로 이루어져 있다. 구체적인 계산법의 내용에 대해서는 방금 나열한 순서대로 진행하도록 하겠다.

 

                                    

 

                                                                                 -참고 문헌:'천재 수학자 트라첸버그의 유대인 스피드 수학-

  

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